Simulationen
  • Farblegende
  • label positiver Anteil des Potentials in Einheiten eV
  • label negativer Anteil des Potentials in Einheiten eV
  • label Dichte der Wellenfunktion im x-Raum mit < Ekin> als y-Offset
  • label Dichte der Wellenfunktion im k-Raum

Nach Auswählen einer der vordefinierten Simulationen kann der Definitionsbereich des Ortes und die betrachtete Energie-Range, sowie die dazugehörigen Achsenbeschriftungen vorgegeben werden. Zur Erhöhung der Berechnungsgenauigkeit muss die Anzahl der Stützstellen vergrößert werden.
Der Anfangszustand des Gauss-Wellenpakets kann im Abschnitt Psi verändert werden.
Die frei variierbar einzustellenden elektrischen Potentiale addieren sich zu einem Gesamtpotential.

Die Simulation wird mithilfe des Split-Operator-Verfahrens, durchgeführt mit der schnellen Fourier-Transformation, berechnet. Bei einer vorgegeben 30 FPS Bildrate werden pro Bild drei Zeitintervalle durchgeführt. Es wird im Code $\hbar = 6.582119514 \text{eVs}$ und $m_{el} = 5.68563006021504 \text{eVs^2/m^2}$ gesetzt, sodass $[x]=0.1\text{nm}$ und $[t]=0.1\text{fs}$.

  • Vordefinierte Potentialtypen
  • subdirectory_arrow_right Rechteck: $V(x) = E \left[ \left({1+e^{-\frac{x-x_{min}}{\alpha}}}\right)^{-1}-\left({1+e^{-\frac{x-x_{max}}{\alpha}}}\right)^{-1}\right]$
  • subdirectory_arrow_right Oszillator: $ V(x) = \frac{m}{2}w^2(x-x_0)^2$
  • subdirectory_arrow_right Gauss: $\quad V(x) = E \cdot e^{-\frac{(x-x_0)^2}{2\sigma^2}}$
Simulation als Link teilen
Simulation
Informationen
Theater-Modus
ab Bildschirmbreite 1320px möglich
y-Achse
x-Achse
Raster
Wellenzahl
Stützstellen
HQ: 8192, LQ: 2048
Δt = 0 fs
Δt = 0.001 fs
t = 0 fs
Δt / 2
Δt · 2
Achtung: Berechnung wird ungenauer
fs
view_list
Simulationen
settings
Umgebung und Genauigkeit
Ψ
Gaußsches Wellenpaket
V
Potentiale
Definitionsbereich
Einheit 0.1nm
xmax = - xmin
Einheit eV
Setze gleich 0 für automatische Einstellung
Achsen
x-Achse-Abstandsperioden in 0.1nm ab xmin
Anzahl Energiemarkierungen bis zur Maximalenergie in der automatischen Einstellung
Stützstellen
Anzahl berechneter x- bzw. k-Stellen
N sollte größer als 10 sein
Gauss-Wellenpaket
Einheit eV
$k_0^2 = \frac{2m}{\hbar^2} <E_{kin}> - \frac{1}{2\sigma^2}$
Einheit 1/(0.1nm)
$<E_{kin}> = \frac{\hbar^2}{2m}\left(k_0^2+\frac{1}{2\sigma^2}\right)$
Hierbei muss $k_0 \geq 0$ sein!
Einheit Elektronenmasse: 9,10938356·10−31 kg
Einheit 0.1nm
Einheit 0.1nm
Potential Bezeichnung ändern
Löschen
Einheit eV
Einheit Sqrt[eV·[m_EL]/(0.1nm)]
Einheit 0.1nm
Ausruck -> Syntax
Pi -> Math.PI
a^n -> Math.pow(a,n)
Sin(x) -> Math.sin(x)
Cos(x) -> Math.cos(x)
Tan(x) -> Math.tan(x)
ArcSin(x) -> Math.asin(x)
ArcCos(x) -> Math.acos(x)
ArcTan(x) -> Math.atan(x)
Exp(x) -> Math.exp(x)
Ln(x) -> Math.log(x)
Log2(x) -> Math.log2(x)
Abs(x) -> Math.abs(x)
Einheit 0.1nm
Einheit 0.1nm
Willkommen

Herzlich Willkommen auf QUANTUM, einem Simulationstool für nichtrelativistische Quantenmechanik. Mithilfe des Split-Operator-Verfahrens (siehe Theorieteil) zur numerischen Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung wird die Propagation eines Gaußschen Wellenpaketes in beliebig einstellbaren Potentialen simuliert.
Individuell eingestellte Simulationen können im Animationsfenster links oben über den Share-Button als Link geteilt werden. Im Abschnitt Quantenmechanik wird ein Überblick der Historie und Phänomene zur Quantentheorie gegeben. Weiterhin steht im Abschnitt Theorie die Bachelorarbeit, auf welcher dieses Programm basiert, zum Download bereit.

Quantenmechanik

Die Quantentheorie oder Quantenmechanik wurde im 20. Jahrhundert auf Grund physikalischer Beobachtungen entwickelt, die zunächst nur einige merkwürdige und neuartige Entdeckungen von Eigenschaften betrafen, die das Licht zeigt, wenn es mit Materie wechselwirkt. Die Hohlraumstrahlung und der Photoeffekt beweisen, dass eine Lichtwelle mit der Frequenz $f$ die Energie $hf$ trägt ( PLANCK, EINSTEIN ). $h$ ist dabei eine universelle Konstante, das sogenannte PLANCKsche Wirkungsquantum. Die Streuung von Licht an Atomen kann ebenfalls nur erklärt werden, wenn eine Lichtwelle mit Wellenvektor $k$ den Impuls $p=\frac{hk}{2\pi}$ besitzt. Licht hat also nicht nur den aus der Elektrodynamik abgeleiteten Wellencharakter, sondern auch Teilcheneigenschaften. Dass umgekehrt auch materielle Teilchen Welleneigenschaften zeigen, konnte experimentell erst sehr viel später demonstriert werden, ist aber heute physikalisches Allgemeingut. Man kann heute sogar Teilchen ebenso wie Licht zum Betrieb von Mikroskopen (Elektronenmikroskop!) benutzen. Die präzise mathematische Beschreibung von solchen "Materiewellen" verdanken wir (fußend auf wichtigen Arbeiten von BOHR, SOMMERFELD und DE BROGLIE) HEISENBERG, SCHRÖDINGER und DIRAC, die die moderne Quantentheorie oder Quantenmechanik entwickelt haben. In diesem Projekt werden wir SCHRÖDINGERs Weg, die sogenannte Wellenmechanik, exemplarisch vorstellen.

Historisches

Die Entwicklung der Quantenmechanik wurde initiiert von einen Reihe von Beobachtungen, die mit den Vorhersagen der klassischen Mechanik und Elektrodynamik nicht im Einklang waren:

  • Die Strahlungsgesetze. Im Gegensatz zur Strahlung die man z.B. in Gasentladungen erzeugt, wo man die Wechselwirkung der Atome untereinander vernachlässigen kann und die zu Linienspektren führen, zeigt die Strahlung von erhitzten Festkörpern ein kontinuierliches Spektrum. Die Verteilung der beobachtbaren Strahlung über die verschiedene Frequenzen kann jedoch mit den Annahmen der klassischen Physik nicht erklärt werden. 1900 gelang es PLANCK das Energieverteilungsspektrum eines sog. schwarzen Strahlers (dies ist ein idealisierter Festkörper der alle Strahlung absorbiert) zu berechnen, indem er annahm, dass der Energieaustausch zwischen der Strahlung und dem schwarzen Körper nur in Quanten E=hf geschieht, wobei $h = 6,6\cdot 10^{-34} Js$ die PLANCKsche Konstante ist. Dies war historisch gesehen der Anfang der Quantenphysik.

  • Der photoelektrische Effekt. Wenn Licht Elektronen aus einer Metalloberfläche herauslöst, findet man, dass die Energie der Elektronen nicht durch die Intensität der einfallenden Strahlung, sondern durch die Frequenz bestimmt wird und zwar gemäß $E = h(f-f_A)$, wobei $f_A$ eine Grenzfrequenz ist, unter der keine Elektronen austreten. Einstein deutete im Jahr 1905 diesen Effekt, indem er annahm, dass das Licht nur in diskreten Lichtquanten der Energie $hf$ (als Photonen) mit der Materie wechselwirkt.

  • Der COMPTON Effekt. Bei der Streuung von Röntgenstrahlen an Elektronen gibt es eine Verschiebung der Wellenlänge $l$, die durch den Streuwinkel $a$ bestimmt wird: $(l-l^{\prime})= \frac{2h}{mc} \sin^2{(\frac{a}{2})}$. Wie beim photoelektrischen Effekt ist diese Tatsache zu erklären (COMPTON, DEBIJE, 1923), falls angenommen wird, dass das Licht aus Photonen mit der Energie $hf$ und dem Impuls $hk$ besteht.

  • Das RITZsche Kombinationsprinzip. Das Spektrum der von einzelnen Atomen erzeugten Strahlung zeigt charakteristische Spektrallinien, die nur dann zu deuten sind, wenn man annimmt, dass die Elektronen in Atomen nur in diskreten Energiezuständen En existieren und dass, die Energie, wie oben, nur in Quanten $hf_{\text{nm}}=E_{\text{n}}-E_{\text{m}}$ bestimmter Größe aufgenommen und abgegeben werden kann. Das RITZsche Kombinationsprinzip (1908) besagt dann, dass neue Spektrallinien durch Addition und Subtraktion gefunden werden können, z.B.: $f_{\text{np}}=f_{\text{nm}}+f_{\text{mp}} =\frac{(E_{\text{n}}-E_{\text{m}} +E_{\text{m}}-E_{\text{p}})}{h}$.

  • Der FRANCK-HERTZ Versuch. Hier handelt es sich um ein Experiment (1917), bei dem z.B. in einer Elektronenröhre, gefüllt mit Quecksilberdampf, der durchgehende Elektronenstrom als Funktion der angelegten Spannung gemessen wird. Es zeigt sich, dass auch die Aufnahme und Abgabe von Energie bei Teilchenstößen nur in diskreten Quanten erfolgt.

  • Der STERN-GERLACH Versuch. Silberatome, die ein magnetisches Moment besitzen, werden beim Durchtritt durch ein inhomogenes Magnetfeld nach Maßgabe ihrer Orientierung abgelenkt. Klassisch würde man, bei willkürlicher Orientierung der Atome eine Verbreiterung des Teilchenstrahls proportional zum Feld erwarten. Beobachtet wird jedoch (1921), dass der Strahl in zwei Teilstrahlen spaltet. Dies wird gedeutet als der Beweis, dass nicht alle, sondern in diesem Fall nur zwei Orientierungen zum Magnetfeld realisiert werden können.

  • Das Experiment von DAVISSON-GERMER. Louis de BROGLIE postulierte 1926, dass nicht nur Wellen Teilcheneigenschaften zeigen, sondern auch Teilchen, wie z.B. Elektronen, Welleneigenschaften haben sollten. Der Nachweis von Beugung von Elektronen an Festkörperkristallen, ähnlich zur Beugung von Röntgenstrahlung an Kristallen, gelang 1927 DAVISSON und GERMER. Sie zeigten, dass man Teilchen mit einem Impuls $p$ eine Wellenlänge $l=\frac{h}{|p|}$ zuordnen kann. Siehe auch Materiewellen in der Atomphysik.

Wellenmechanik

Die quantenmechanische Beschreibung strukturloser materieller Teilchen fußt auf einigen Grundannahmen oder Axiomen, die wir zunächst einmal formulieren und kurz kommentieren wollen. Im Gegensatz zur klassischen Mechanik, wo die Bahnen von einzelnen Teilchen exakt berechenbar sind -vorausgesetzt man kennt die Anfangslagen und Anfangsgeschwindigkeiten mit beliebiger Genauigkeit - verzichtet man in der quantenmechanischen Beschreibung auf die Berechnung von Eigenschaften von einzelnen Teilchen. Um dem beobachteten Wellencharakter der Materie gerecht zu werden, ordnet man der Teilchenbewegung eine Welle zu und zwar postuliert man:

  • Die Teilchenbewegung wird bestimmt durch Wellenfunktionen. Die Wellenfunktion wird gewonnen durch Lösung der SCHRÖDINGER-Gleichung, die für Teilchen der Masse m in einem Potential V(x,y,z,t) lautet: \begin{equation*} i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (x,y,z,t) = - \frac{\hbar^2}{2m} \Bigg[ \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\Bigg] \psi (x,y,z,t) + V(x,y,z,t) \cdot \psi (x,y,z,t) \end{equation*}

  • Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem Raumgebiet $G$ zu finden, wird dadurch berechnet, dass man das Betragsquadrat der Wellenfunktion über dieses Raumgebiet integriert.

Offenbar kann eine Wahrscheinlichkeit nie durch einen einzigen Teilchennachweis ermittelt werden. Die Quantenmechanik macht deshalb über Einzelereignisse prinzipiell keine Aussage, sondern nur über das Ergebnis einer Mittelung über viele Experimente.

Lösungen der Schrödingergleichung

Um die Eigenartigkeiten der Quantenmechanik zu illustrieren, betrachten wir zunächst die Schrödingergleichung für die Teilchenbewegung entlang einer Achse. \begin{equation*} i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (x,t) = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi (x,t) + V(x) \cdot \psi (x,t) \end{equation*} Die Schrödingergleichung bestimmt die Wellenfunktion für jede Zeit $t$, falls wir die Wellenfunktion, und somit die Wahrscheinlichkeitsdichte, zu irgendeinem Zeitpunkt (z.B. $t=0$) vorgeben. Speziell wählen wir anfangs eine Wellenfunktion, die einem Ensemble von Teilchen entspricht, das sich im Mittel an irgendeinem Ort befindet und dessen mittlere Geschwindigkeit verschwindet. In der klassischen Mechanik ist die Teilchenbewegung eindeutig festgelegt, falls man Ort und Geschwindigkeit der Teilchen zu irgendeinem Zeitpunkt festlegt. Wir könnten obiges Ensemble klassisch z.B. realisieren, indem wir allen Teilchen die Geschwindigkeit Null geben. Dies ist in der Quantenmechanik nicht möglich: Die HEISENBERGsche Unschärferelation \begin{equation*} \Delta x \cdot \Delta p \gtrapprox \hbar \end{equation*} besagt, dass je genauer wir den Ort der Teilchen bestimmen, umso größer die Streuung der Impulse ist.

Theorie

Die in der Simulationen verwendeten theoretischen Überlegungen und Ausführungen zu numerischen Lösungen eindimensionaler nichtrelativistischer quantenmechanischer Probleme sind in folgender PDF einzusehen:

attachmentBachelorarbeit_MarkusUnkel.pdf

In dieser Arbeit ist die Behandlung der Split-Operator bzw. der Crank-Nicolson-Methode, sowie ein numerischer Vergleich beider Verfahren enthalten.

Impressum

Angaben gemäß § 5 TMG

Markus Unkel
Marienweg 3
53545 Linz am Rhein

Dieser Webauftritt wird bereitgestellt von:

  • person PD. Dr. Bernard Metsch, Texte
  • person Markus Unkel, Programmierung, Hosting
  • mail kontakt(at)quantum-simulation.de
Quantum ist im Rahmen einer Bachelorarbeit in Physik bei Herrn PD. Dr. Bernard Metsch am Helmholtz-Institut für Strahlen- und Kernphysik der Rheinischen Friedrich-Wilhelms Universität Bonn im Februar 2016 entstanden.

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